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  • 07/08/13--15:56: Tangram
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    Cuando nos plantean un problema en clase de matemáticas, casi siempre existen diversas maneras de resolverlo. El álgebra nos permite resolver muchos de ellos de manera casi mecánica, aplicando algoritmos que nos dan una solución exacta y bien definida, sin embargo cuando utilizamos la geometría básica y el razonamiento, la elegancia se hace presente.

    Vamos a poner un ejemplo, un problema que me gustó mucho cuando nos lo contó Francisco Bellot. Pertenece a una de las colecciones de problemas escolares rusos. Este en particular lo podéis encontrar referenciado en Shifman (Ed.): You failed your math test, Comraide Einstein.World Scientific, 2005.  Aquí Ian Vardi, nos hace un estudio de los llamados "killer problems" [A. Shen, Entrance Examinations to the Mekh-mat, Mathematical Intelligencer 16 (1994), 6-10], que describen la discriminación que tenían los estudiantes judios en las pruebas de acceso a la facultad de matemáticas en Rusia, entre los años 1970 y 1980. Ian Vardi nos muestra 25 "killer problems" , este hace el número 21 (Smurov, Balsanov, 1986):

    Una circunferencia está inscrita en la cara de un cubo de lado a, otra circunferencia circunscrita en la cara contigua. Encuentre la distancia mínima entre los puntos de las circunferencias.

    La solución algebraica que nos expone Ian Vardi consiste en parametrizar convenientemente las dos circunferencias en un sistema de coordenadas con origen en el centro del cubo, al calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera obtenemos una función en dos variables, basta entonces con calcular el mínimo de esta función. 
    La gran mayoría de los alumnos que ingresan el primer año en la facultad de matemáticas, es decir, nuestros alumnos de segundo de bachillerato no serían capaces de resolver este problema algebraicamente. Sin embargo desde un punto de vista geométrico, la resolución es mucho más elemental.
    Si observamos las dos esferas concéntricas con centro en el centro del cubo y que contienen a cada circunferencia, es evidente que la distancia buscada no puede ser menor que la distancia entre las dos esferas, es decir la diferencia de radios. 

    Es más, si existiera un radio (de la esfera mayor) que cortara a las dos circunferencias, la mínima distancia sería alcanzada en esos dos puntos.
    Vamos pues a dibujar esos puntos y demostremos que existen. Consideremos todos los posibles radios que salen del centro y pasan por la circunferencia inscrita ¿Qué tenemos?...Sí, un precioso cono. Ahora cortemos ese cono con el plano que contiene la circunferencia circunscrita. ¿Qué tenemos?...(esto les cuesta más a los alumnos, pero si ya han estudiado las hipérbolas entonces lo ven más fácilmente). Esa rama hiperbólica cortará a la circunferencia circunscrita en dos puntos ( cualquiera nos sirve) dibujemos uno de ellos.
    Nota: Si hubiésemos colocado un sistema de referencia con el origen en el centro del cubo, podríamos calcular las ecuaciones algebraicas de todos estos objetos geométricos y ya tendríamos la solución, sin embargo hemos dicho que íbamos a resolverlo de manera geométrica, entonces nada de ecuaciones ;-), aunque sería una forma diferente de llegar a la misma solución que la vista anteriormente, sin utilizar la parametrización ni el cálculo del mínimo en una función de dos variables.


    Consideremos los ángulos siguientes: ( el tiedro formado por el radio que hemos dibujado y los radios que unen el centro del cubo con los centros de las dos circunferencias)


    Observemos que O1OO2=90º, O1OB=45º, AOO2=α=arctan√2  

    Cada uno de estos ángulos es menor que la suma de los otros dos, y la suma de los tres es menor que 360º. Estas son condiciones necesarias y suficientes para que exista un triedro de vértice O, cuyos ángulos de las caras sean los tres ángulos marcados. Esto significa que los puntos O, A y B están efectivamente alineados (en la arista común a los dos últimos ángulos del triedro).
    Entonces la distancia AB = a (√3-√2) (Diferencia de los radios de las esferas, se calculan fácilmente aplicando Pitágoras a los triángulos rectángulos que forman con los centros de las caras)
    Si tomamos otros dos puntos, M y N, en las dos circunferencias, considerando el triángulo OMN, la desigualdad triangular garantiza que la distancia MN es mayor que la diferencia OM-ON, que vale precisamente a (√3-√2), c.q.d.

    Las imágenes están tomadas de la versión beta de geogebra 5, en su vista 3D.

    Esta entrada participa en la Edición 4.123105 del Carnaval de Matemáticas que organiza en esta ocasión David Orden en su blog Cifras y Teclas.





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  • 10/08/13--15:23: Dividir un cuadrado


  • Nota: Estoy probando algunas aplicaciones para utilizar el Ipad en clase, una de ellas es geogebra que ya podemos instalarla en tabletas tanto de Windows, como de Android, como de IOS, aunque la versión de escritorio es mucho más potente, me encanta tener geogebra en mi Ipad. Este vídeo lo he realizado con una aplicación muy sencillita que me han recomendado las #guappis para contar historias a partir de nuestras fotografías. Se llama Shadow Puppet 

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  • 10/21/13--15:47: Cosas de Stella...
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  • 11/20/13--14:00: Derechos de los niños
  • Hoy se celebra el Día Universal del Niño, ya que fue un 20 de noviembre de 1959 cuando los 78 países que formaban la ONU, aprobaron el tratado internacional.

    Yo he querido celebrar esta fecha con unos derechos muy particulares, los derechos en mi aula de matemáticas.





    Imágenes de dominio público en http://pixabay.com/
    Música: Josh Woodward - Are You Having Fun en http://www.jamendo.com/es/

    Esta entrada participa en la edición 4.12310562 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews.

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  • 12/05/13--10:59: Un minuto con Escher
  • Bailando un vals...





    Podéis verlo en Realidad Aumentada, con un smartphone con IOS o Android 4+.
    Aplicaciones gratuitas para descargar:
    Aurasma (tendrás que seguir mi canal)
    Layar

    Y enfocar con cualquiera de ellas la imagen de estas preciosas mariposas de Escher... Estoy pensando en decorar mi futura clase de mates ;-)


    Mejor si haces clic en la imagen, la verás más grande...

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  • 12/11/13--02:16: Markus Hohenwarter
  • Es un placer escuchar a Markus, creador de Geogebra.  Esta es la conferencia que dio en Buenos Aires para IBERTIC, Instituto Iberoamericano de TIC y Educación.



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  • 12/13/13--03:48: Sólidos Platónicos
  • Otro vídeo para mostrar en clase de geometría. También podéis verlo en Realidad Aumentada con Layar o con Aurasma ( si sigues el canal )



    La imagen que sirve de marcador y que puedes imprimir para tu aula :-))

    (clic para aumentar)

    Nota: Estos materiales, y todos los de mi elaboración propia que podéis encontrar en este blog son de licencia cc


    Reconocimiento – NoComercial – CompartirIgual (by-nc-sa): No se permite un uso comercial de la obra original ni de las posibles obras derivadas, la distribución de las cuales se debe hacer con una licencia igual a la que regula la obra original.

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  • 12/15/13--16:52: Sólidos Truncados
  • A partir de los sólidos regulares o sólidos platónicos, "truncamos" las esquinas para construir otros sólidos. El truncamiento puede ser por el punto medio de las aristas, o bien por un tercio. Los siete primeros sólidos serán arquimedianos por ser sus caras polígonos regulares, no así los siguientes, pues obtenemos caras que no son regulares.



    Para ver en RA en Layar o en Aurasma:

    clic en la imagen


    Para ver en el navegador:



















    Estos son los siete sólidos arquimedianos obtenidos por truncamiento.

    Los siguientes sólidos truncados no son arquimedianos, pero sus vértices son uniformes:



















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  • 12/21/13--15:08: Reptiles
  • Reptando con Escher:




    Para ver en tu móvil con Layar  y en Aurasma (en este canal)

    Clic para aumentar



    Esta entrada participa  en la Edición 4.123105625 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Que no te aburran las M@TES


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  • 12/26/13--12:15: Reptiles II
  • Teselaciones. Reptiles de Escher.
    Ahora un poco de interactividad...


    Otra imagen enriquecida con interactividad a través de tu dispositivo móvil con Layar. Haz clic en la imagen para verla más grande y escanea con Layar.


    Nota: La escena está construida en html con la versión gratuita del programa de Adobe: Edge Animate

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  • 12/13/13--03:48: Sólidos Platónicos
  • Otro vídeo para mostrar en clase de geometría. También podéis verlo en Realidad Aumentada con Layar o con Aurasma ( si sigues el canal )


    La imagen que sirve de marcador y que puedes imprimir para tu aula :-))


    (clic para aumentar)

    Nota: Estos materiales, y todos los de mi elaboración propia que podéis encontrar en este blog son de licencia cc


    Reconocimiento – NoComercial – CompartirIgual (by-nc-sa): No se permite un uso comercial de la obra original ni de las posibles obras derivadas, la distribución de las cuales se debe hacer con una licencia igual a la que regula la obra original.

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  • 01/02/14--13:29: Gauss en RA
  • Sigo con la decoración de mi aula donde habrá un rinconcito especial dedicado a la historia de las matemáticas. El primero en llegar ha sido Gauss, retratado por Jensen. Ver con Layar o Aurasma en tu dispositivo móvil.

    Public Domain. Fuente

    El overlay:





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  • 01/10/14--03:33: La búsqueda de un sueño
  • Antonio Pérez Sanz se jubila y nos regala su última clase.



    ¿Qué son las matemáticas...? La búsqueda de un sueño

    Mil gracias Antonio!!! por todo tu trabajo y tu gran labor divulgativa, por transmitir esa pasión y enseñar las "verdaderas", las mejores matemáticas en el aula.

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  • 01/11/14--12:05: Retos
  • Empiezo mi colección de retos para hacer un librito en realidad aumentada, la idea es que la solución sea el "overlay" del enunciado. Este será el primero, uno facilito para todos los públicos:


    La solución escaneando la imagen en tu móvil con Aurasma o Layar.

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  • 01/19/14--16:25: El juego de la Jirafa
  • Reto nº 2.


    La solución escaneando esta imagen con Layar o Aurasma.

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  • 01/20/14--04:35: Códigos Secretos
  • Reto nº 3:


    La solución en tu móvil con Layar o Aurasma.

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  • 01/24/14--07:38: Isaac Newton
  • Con la inestimable ayuda de Juan Carlos Guerra, @juancarikt, que ha puesto la voz a Isaac Newton. Graciass!!
    Otro cartel para mi colección de personajes históricos.



    Para ver en el móvil con Layar o Aurasma (este canal)

    El "overlay":



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  • 01/29/14--10:39: La Habitación de Fermat
  • En esta ocasión y con motivo de la celebración del carnaval de matemáticas, en el que esta entrada participa, he invitado a Javier y José María a que nos expliquen qué es eso de La Habitación de Fermat.



    Se trata de un videojuego de resolución de problemas basado en la película homónima. Tiene una maqueta incorporada que representa una habitación cuyo tamaño va menguando si el jugador no responde correctamente los enigmas planteados. Sus objetivos iniciales eran estimular procesos de toma de decisiones, mejorar la adquisición de las competencias básicas y fomentar el gusto por las matemáticas.

    Actualmente, se ha ampliado a un proyecto de colaboración escolar en el que los alumnos proponen nuevos argumentos y diseños, crean bandas sonoras, ponen a prueba las nuevas actividades, ...

    La versión web del juego dispone de ocho niveles y un almacén de acertijos, y está en constante evolución. No somos programadores y no podemos llevar a cabo algunas de nuestras ideas y de las propuestas que recibimos, por lo que estamos abiertos a nuevas colaboraciones.

    En los inicios nos ayudó el programa Medialab y el equipo de colaboradores que surgió de la convocatoria "Jugando con Números"
    Para una descripción más amplia del proyecto, puedes consultar nuestra página web.



    Esta entrada participa en la edición 4.1231056256 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Cuentos Cuánticos

    P.D. Un reto para que jueguen esta noche ;-))

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  • 02/25/14--16:44: Multiplicando con los dedos
  • Hoy, Adrián y Margarita están al cuidado de su prima pequeña de 7 años, Alicia. Sus padres han tenido que salir de viaje y este finde Alicia lo pasará en casa de sus primos. Margarita quiere salir a jugar con su prima, pero antes hay que hacer los deberes...Adrián que es el hermano mayor no les deja salir hasta que no acaben sus obligaciones y Margarita que ya ha acabado con los suyos se ha puesto a leer y no se oye una mosca en casa.
    De repente se oye la voz de Alicia
    -Jolín, he vuelto a fallar!!
    Adrián se acerca sorprendido
    -¿Qué pasa Alicia?
    -Nada, que no me aprendo la tabla del seis, la del cinco ya me la sé..pero esta del seis no es tan fácil...
    -¿Y ya te sabes las tablas de multiplicar hasta la del cinco?
    -¡Sí, claro! Hasta el cinco me las se todas y no fallo ni una...
    Entonces voy a enseñarte un truquito para el resto de las tablas, y lo único que necesitas son los dedos de las manos y sumar algún número...
    -Margarita que estaba escuchando ha dejado el libro y se ha acercado a mirar a su hermano mayor...es una cajita de sorpresas Adrián...

    -Lo vamos a hacer con un ejemplo-explica Adrián- Veamos por ejemplo 6x7. En una mano doblas 6-5=1 dedo, y en la otra doblas 7-5=2 dedos.

    ¿Cuántos dedos has doblado?
    -Tres-gritan al unísono las dos niñas
    -Bien, pues ese número representa decenas.
    -Lo multiplicas por 10 -le dice Margarita a su prima Alicia- es fácil, solo tienes que añadir un cero
    -30, dice Alicia...bien y ahora?

    -Ahora solo tienes que multiplicar los dedos que tienes levantados, y esas tablas ya te las sabes, Alicia- dice Adrián guiñando un ojo a su prima.
    -Cuatro por tres son doce, contesta Alicia sonriendo.
    -Bien, ahora solo tienes que sumar doce más treinta
    -42
    - Sí, seis por siete son cuarenta y dos, dice sorprendida Margarita- Probemos con otra, Adrián, por ejemplo 8x9

    - Vale, pues doblamos 8-5=3 dedos en una mano y 9-5= 4 dedos en la otra.


    -¿Cuántos dedos has doblado?
    -7 dedos, 70
    -Bien, y ahora es fácil multiplicar dos por uno- sonrie Adrián
    -suman setenta y dos! 8x9=72.
    - ¡Alaaaa¡Ahora ya me sé todas las tablas- grita contenta Alicia-
    Margarita, que ya va practicando el álgebra le pregunta a su hermano por una explicación más matemática, porque le ha sorprendido mucho el truco.

    Mira Margarita, y Adrian coge su pizarrín y escribe:



    Margarita empezaba a entender el truco...-vamos a demostrarlo en general-, y coge el pizarrín de su hermano.
    -Supongamos que a y b son mayores que cinco, porque si a o b fueran cinco o menor que cinco, ya sabríamos multiplicar- dice Margarita guiñando un ojo a su hermano. Entonces...


    -Entonces c más d son los dedos que me quedan levantados...¿verdad?
    -¡Muy bien, Margarita!
    -Y ahora es fácil:



    -Dedos doblados por diez más la multiplicación de los dedos levantados...no te olvides Alicia!


    Actividad en geogebra.

    Esta entrada se la dedico con todo mi cariño a JoseÁngel Murcia, más conocido por @tocamates, por venir a Ciudad Rodrigo a enseñarnos tantas cosas chulis...


    Esta entrada participa en la Edición 5.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.



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